Nyfikenhet om tal
Talen bär på många överraskningar
För 2500 år sedan blev pythagoréerna i Crotone i södra Italien rätt överraskade när de upptäckte att roten ur 2 inte är rationellt. Varje kvot av heltal avviker från dess värde, mer eller mindre.
De blev chockade. Enligt legenden lär de ha dränkt upptäckaren Hippasus. För de hade en fix föreställning i förväg om hur matematiken måste vara.
Det har vi släppt sen dess! Det finns många fler överraskningar i talens värld som man kan hitta med hjälp av envisa frågor och logik. :-D
Artiklar
Hitta de superrika talen
Har primtalen någon motsats? Jodå!
Primtalen är de tal som är minst delbara med andra tal.
De superrika talen är de mest delbara. Summan av alla delare är ovanligt stor!
Primtal: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29,…
Superrika: 1, 2, 4, 6, 12, 24, 36, 48, 60, 120,…
I Nämnaren, no 2, 2013.
Andragradsekvationen som nåldyna
Pq-formeln är väl känd som lösningsformel för en andragradsekvation.
Men hur ändrar sig egentligen lösningarna om man rubbar p eller q?
Det visar sig att x som funktion av p och q bildar en paraboloid i tre dimensioner, som ligger något snett i p,q,x-rymden.
Lösningarna kan lätt hittas i paraboloiden, som nålar om träffar den.
I Elementa, no 3, 1998.
Komplexa jämna kvadrater
0, 1, 4, 9, 16, … är de enda talen som är kvadrater av heltal. Men 3+4i är också en jämn kvadrat! Det är nämligen kvadraten av det komplexa heltalet 2+i. Så var i komplexa talplanet finns denna typ av kvadrater?
Jo, minsann, i skärningarna mellan vissa parabler, en skara riktad åt höger och en åt vänster!
Alla parablerna har origo som brännpunkt. Försök tolka det!
Det visar sig också att alla komplexa jämna kvadrater kan beskrivas med pythagoreiska taltrippler.
I Nämnaren no 1, 2021.
En tennisgåta
Vad har talserien 1, 2, 3, 4, 5, 5.5, 8 med sannolikheter i tennis att göra?
Den slutar alltså inte med 6, 7.
Rätt mycket, faktiskt…
I Nämnaren no 4, 2019.
Pascals summatriangel
Man går
1 1
från 1 1 till 2 1
1 2 1 4 3 1
1 3 3 1 8 7 4 1
genom att från en viss plats i Pascals triangel addera vad som står där med alla tal rakt till höger om den platsen. Detta är Pascals summatriangel.
Den säger, otroligt nog, något konkret om chansen för en tennisspelare att vinna ett gem!
I Nämnaren, no 4, 2020.
Fatta tärningarna!
Falting verkar vara en svår operation i högnivåkurser. Men det bara verkar så.
Man kan förstå faltning genom att slå en tärning. Och sedan en tärning till. Och sedan en till. Om man vill veta summan av tärningarna. Det kan inte bli mer konkret!
I Nämnaren no 1, 2014.
En annan addition och Stern-Brocots träd
Det finns ett träd som består av alla rationella tal. Varje tal kommer direkt från de två föregående - Stern-Brocots träd. Alla tal är maximalt förkortade, dyker upp exakt en gång, och är ordnade växandel.
På 1860-talet kokade en tysk matematiker (Mouritz Stern) och en fransk klockmakare (Achille Brocot) ihop detta träd. De ger bl.a. de bästa approximationerna av pi och e och roten ur 2...
I Nämnaren no 3, 2006.
Addition, multiplikation, ...
Multiplikation är upprepad addition. Bara distributiva lagen (= att multiplicera in i parentes, dock inte just i denna) knyter ihop de två räknesätten.
Men vad är i så fall upprepad multiplikation?
Det är inte riktigt exponentiering, men nästan! Det finns en supermultiplikation som kan knytas med multiplikation med en distributiv lag. Som multiplikation och addition är hopknutna.
Och en supersupermultiplikation som är hopknuten med supermultiplikation... Osv.
En massa räknesätt! De neutrala elementen för de sex första är 0, 1, 2, 4, 16, 65 536.
I Elementa, no 2, 1997.
Draperi av derivering
Varje gång man deriverar x^a sänker man gradtalet med ett. Så upprepad derivering ger en tråd av funktioner, t.ex. en med exponenterna ..., 4/3, 1/3, -2/3, -5/3, ... . Det ger många trådar intill varandra - som ett draperi!
Utom om exponenten är ett heltal. Från ena hållet stannar tråden på 0 med en ögla. Från det andra dyker 1/x upp, och fortsätter därefter med andra funktioner, ln|x|, x(ln|x| - 1), ...